Teorema fondamentale dell'algebra
Il Teorema Fondamentale dell'Algebra afferma:
Ogni equazione polinomiale di grado n a coefficienti complessi ha n radici tra i numeri complessi.
Per visualizzare alcuni esempi, vedi l'attività realizzata in Derive.
La storia
I primi studi di al'Khuwarizmi (matematico e astronomo arabo vissuto nella prima metà dell’800) sulle equazioni portarono alla determinazione delle sole radici reali positive.
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Cardano fu il primo a
riconoscere che si poteva lavorare con quantità più
generali dei numeri reali. Fece questa scoperta durante
la ricerca di una formula che fornisse le radici di
un'equazione cubica. Quando applicò la formula
all'equazione x3 = 15x + 4 ottenne una
risposta che conteneva  -121 anche
se Cardano sapeva che l'equazione ammetteva come
soluzione x = 4. Riuscì a manipolare questi “numeri
complessi” fino ad ottenere la risposta esatta,
anche se non comprese a fondo egli stesso la matematica
usata. |
| Bombelli, nel suo testo L'Algebra, pubblicato nel 1572, introdusse un insieme di regole per operare con questi numeri complessi.A Bombelli spetta quindi il merito di aver introdotto nella matematica i numeri complessi e le regole di calcolo con essi oltre a quello di aver svolto la teoria completa delle equazioni di terzo grado, discutendo e risolvendo tutti i casi che si possono presentare. |  |
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Cartesio nel 1637 affermò che si potevano immaginare, per ogni equazione di grado n, n radici ma queste radici immaginarie non corrispondevano a quantità reali. Nel suo testo del 1637, La géométrie, richiamò il risultato precedentemente affermato da Harriot, cioè che un polinomio che si annulla in t ha un fattore (x-t). |
Dopo ci fu una lunga serie di dimostrazioni non complete del teorema fondamentale dell’algebra, ma la prima vera dimostrazione è attribuita a Gauss, detto il principe dei matematici: nella tesi di dottorato del 1799 presentò la sua prima dimostrazione e, insieme, le critiche alle precedenti. La dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra presentata da Gauss era basata in parte su considerazioni geometriche. Parecchi anni più tardi, nel 1816, Gauss ne pubblicò due nuove dimostrazioni, e un'altra ancora nel 1850, utilizzando metodi puramente algebrici.
Teorema di Abel-Ruffini
Nella prima metà del XIX secolo viene affrontato e risolto un altro grande problema dell'algebra classica: quello della risolubilità o meno di un'equazione algebrica mediante radicali, cioè di esprimerne le soluzioni operando sui coefficienti dell'equazione con operazioni razionali ed estrazioni di radice di vario indice. L'italiano Ruffini e il norvegese Abel dimostrarono, indipendentemente, che:
L'equazione generale maggiore o uguale al quinto grado non è risolubile mediante radicali.
